再论虚化

理论推导：表观虚化

我们有薄透镜成像公式

$$\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}+\frac{1}{s}\tag{1}$$

以及像距物距公式

$$s'=f(1-m),\quad s=f\left( \frac{1}{m}-1 \right), \tag{2}$$

其中 $s, s', f, m$分别为物距、像距、焦距、放大倍率。
现考虑一物距为 $s$，位于光轴上的物点 $P$。设薄透镜有效口径为 $D$，则由几何关系可以算出经过薄透镜边缘的光线在像方空间的斜率 $k'$ 为

$$k'= \frac{D}{2s'}=\frac{D}{2 f(1-m)}=\frac{F}{2(1-m)}. \tag{3}$$

其中 $F=\frac{f}{D}$ 为光圈值。
当镜头对准物距为 $s_{0}$ 的物体对焦时，此时焦平面位于像距

$$s_{0}'=\frac{1}{f}+\frac{1}{s_{0}} \tag{4}$$

处。设另一像点 $P'$ 的物距为 $s_{0}+\Delta$ 处，其中 $\Delta \in (-s_{0},+\infty)$. 这一像点成像在

$$s_{\Delta}'=\frac{1}{f}+\frac{1}{s_{0}+\Delta} \tag{5}$$

处。由公式(4)(5)，$P'$ 发出的经过透镜边缘的光线在焦平面上的截距为

$$\begin{aligned}\tag{6} y_{\Delta}&= k'_{\Delta}(s_{\Delta}'-s_{0}') \\ &= \frac{D}{2\left( \frac{1}{f}+\frac{1}{s_{0}} \right)}\left( \frac{1}{s_{0}+\Delta}-\frac{1}{s_{0}}\right) \\ &=\frac{Dfs_{0}}{2(s_{0}+f)} \frac{-\Delta}{s_{0}(s_{0}+\Delta)} \\ &=-\frac{Df\Delta}{2(s_{0}+f)(s_{0}+\Delta)} \end{aligned}$$

而 $|y_{\Delta}|$ 即为 $P'$ 在焦平面上所成的弥散圆半径。设传感器容纳的最大像高为 $H$，则此时的虚化量 $B_{1}$ 可以定义为

$$\begin{aligned}\tag{7} B_{1}&\equiv \frac{|y_{\Delta}|}{H} \\ &=\left|\frac{Df\Delta}{2H(s_{0}+f)(s_{0}+\Delta)}\right| \\ &= \left|\frac{f^2\Delta}{2FH(s_{0}+f)(s_{0}+\Delta)}\right|\\ &=\left|\frac{Df\Delta}{2H\left[ f\left( \frac{1}{m}-1 \right)+f \right]\left[ f\left( \frac{1}{m}-1 \right)+\Delta \right]}\right| \\ &=\left|\frac{Dm\Delta}{2H\left[ f\left( \frac{1}{m}-1 \right)+\Delta \right]}\right|. \end{aligned}$$

我们不妨称 $B_{1}$ 为表观虚化量。下面我们分析不同情况影响表观虚化量的因素。

相同物距

首先讨论物距 $s_{0}$ 相同的情况。这对应于现实生活中拍摄位置由于客观限制无法改变的情况，例如生态摄影、体育摄影。

光圈影响

由(7)的第三行，$B_{1}$ 随 $\frac{1}{F}$ 线性变化。因此，光圈变大一档，对应于光圈值 $F$ 变为原来的 $\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$ 倍，此时表观虚化量变为原来的 $\sqrt{ 2 }$ 倍。

焦距影响

对于一般摄影而言，物距总是远大于焦距（即此处不考虑微距摄影的情况）。我们取近似 $s_{0}\gg f$，则(7)式化为

$$B_{1}=\left| \frac{f^2 \Delta}{2FHs_{0}(s_{0}+\Delta)} \right|=\left| \frac{fD \Delta}{2Hs_{0}(s_{0}+\Delta)} \right|.$$

• 如果保持光圈值 $F$ 不变，增大焦距 $f$，则表观虚化量随 焦距的平方 增长；
• 如果保持透镜口径 $D$ 不变，增大焦距 $f$，则表观虚化量随 焦距线性 增长，对应于加增倍镜的情况。

背景距离影响

下面讨论近景虚化（$\Delta\to 0^+$）以及远景虚化（$\Delta\to \infty$）两种情况。

近景虚化

近景虚化能力，即对于对焦点附近的物体的虚化能力。如果近景虚化能力强，则对应于该镜头的景深很浅，相应地对于对焦精度的要求就更大。在日常使用中人们往往将景深和虚化能力混为一谈，这是不准确的。下面我们将通过计算说明，近景虚化和远景虚化取决于不同的要素。
我们对 $B_{1}$ 关于 $\Delta$ 求偏导数：

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\Delta}B_{1}&= \frac{2f^2FH(s_{0}+f)(s_{0}+\Delta)-2f^2FH(s_{0}+f)\Delta}{4F^2H^2(s_{0}+f)^2(s_{0}+\Delta)^2} \\ &=\frac{2f^2FH(s_{0}+f)s_{0}}{4F^2H^2(s_{0}+f)^2(s_{0}+\Delta)^2} \\ &=\frac{s_{0}}{2FH(s_{0}+f)(s_{0}+\Delta)^2}. \end{aligned}$$

取近景条件 $\Delta\to 0$ 以及近似 $s_{0}\gg f$，则

$$\frac{\partial}{\partial\Delta}B_{1} \to \frac{s_{0}}{2FH(s_{0}+f)}\approx \frac{1}{2FH}.$$

即近景表观虚化仅仅取决于光圈和画幅大小。光圈越大、画幅越小，则近景虚化能力越大。这里关于画幅的结论可能违反一般关于画幅越大景深越浅的直觉，这里给出一个图像上的解释。画幅减小的过程相当于在后期将画面裁切放大，因此同样的弥散圆，可能在较大画幅上看不出明显虚化，而裁切放大以后就显得模糊。

远景虚化

令背景无限远，即 $\Delta\to \infty$，有

$$B_{1}\to \frac{f^2}{2FH (s_{0}+f)} \approx \frac{f^2}{2F Hs_{0}}= \frac{fD}{2Hs_{0}}$$

即在物距不变的情况下，远景虚化能力取决于 $\frac{f^2}{F}$ 或 $fD$。可以看到，这里 焦距 起了至关重要的作用。在镜头口径不变的情况下，增加焦距（例如使用增倍镜，或选择同口径但焦距更长的镜头）能够 线性增加 远景虚化量。例如在鸟类摄影中，在同一个位置使用 $400\text{mm}, f/2.8$ 镜头的远景虚化效果就不如 $800\text{mm}, f/5.6$ 的镜头。

相同画面比例

如果我们控制主体在画面中所占的比例相同，即对于同一焦平面上的主体，我们控制 $\frac{h'}{H}$ 相同，其中 $h'$ 为像高。当 $\frac{h'}{H}$ 相同时，这意味着

$$\frac{h'}{H}=\frac{mh}{H}=\frac{s_{0}'h}{s_{0}H}$$

应保持相同。拍摄同一被摄体时，物高 $h$ 总是一定的。这意味着我们只需要控制

$$\lambda\equiv \frac{s_{0}'}{s_{0}H}=\frac{m}{H}$$

这对应于大部分的日常摄影情况。例如我们想拍摄一个人物的半身照，希望比较不同镜头对于这同一摄影主题的虚化表现时，相同画面比例的虚化就更有参考意义。由(7)最后一个等号可推得

$$\begin{aligned} B_{1}&=\left|\frac{Dm\Delta}{2H\left[ f\left( \frac{1}{m}-1 \right)+\Delta \right]}\right|\\ &=\left|\frac{D\lambda\Delta}{2f\left( \frac{1}{H \lambda}-1 \right)+\Delta }\right|. \end{aligned}$$

焦距影响

控制主体比例、镜头口径相同时，不难发现

背景距离影响

近景虚化

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \Delta}B_{1}&= \frac{D\lambda \left[ 2f\left( \frac{1}{H \lambda}-1 \right)+\Delta \right]-D\lambda \Delta}{\left[ 2f\left( \frac{1}{H \lambda}-1 \right)+\Delta \right]^2} \\ &=\frac{2fD\lambda \left( \frac{1}{H\lambda}-1 \right)}{\left[ 2f\left( \frac{1}{H \lambda}-1 \right)+\Delta \right]^2}. \end{aligned}$$

当 $\Delta=0$ 时有

$$\frac{\partial}{\partial \Delta}B_{1}=\frac{D}{2f\left( \frac{1}{H\lambda}-1 \right)}=\frac{1}{2F \left( \frac{1}{H\lambda}-1 \right)}.$$

因此在主体比例、画幅大小保持不变的情况下，近景虚化也只取决于光圈。

远景虚化

当 $\Delta\to \infty$时，有

$$B_{1}\to \lambda D.$$

说明控制同一主体画面比例时，镜头的表观虚化量大小仅仅取决于镜头的入瞳直径。